Calculo diferencial Derivativo (Derivadas)
Onde surgiu a Derivada ?
Matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) criou o cálculo de derivada em 1675. Ele projetou esse método de resolver equações matemáticas para descobrir como uma função muda quando seus parâmetros variam. O cálculo de derivada foi desenvolvido a partir do trabalho de Isaac Newton (1642-1727) sobre as leis da dinâmica, que descrevem como os corpos se movem em resposta às forças que atuam sobre eles. Leibniz foi o primeiro a usar o símbolo delta, usado como abreviação para "diferença", para representar uma pequena mudança no parâmetro variável de uma função. Ele também criou o símbolo de derivada para representar a taxa de mudança de uma função. O símbolo de derivada foi desenhado como um pequeno círculo escrito à esquerda da variável na qual a derivada está sendo calculada. Leibniz usou esses símbolos para criar a notação de cálculo que é usada até hoje para representar o cálculo de derivada. Leibniz também inventou o cálculo diferencial, que permite ao matemático descobrir funções que descrevem a taxa de mudança. Utilizando essas funções, o matemático pode calcular integral, ou a área sob uma curva. O cálculo de derivada e o cálculo diferencial são usados em várias áreas da matemática, da física e da engenharia, para resolver problemas relacionados à movimentação, forças e energia. O trabalho de Leibniz foi amplamente reconhecido por matemáticos e cientistas. Ele foi premiado com a Ordem de São Miguel da Prússia, um dos mais antigos e mais prestigiados títulos honoríficos da Prússia. Leibniz deixou um legado profundo na matemática e na ciência. Seu trabalho sobre o cálculo de derivada e o cálculo diferencial contribuiu para o desenvolvimento de ciências, como a física, a astronomia, a engenharia e a economia. Seu trabalho é considerado um marco na história da matemática e dos cálculos.
O que é, e para que serve ?
A Derivada é uma ferramenta matemática que mede o quanto uma função muda quando sua variável de entrada muda. Ela é usada para achar o índice de variação de uma função, dando aos usuários a capacidade de calcular a taxa de mudança de um dado. A Derivada é usada principalmente para encontrar a taxa de mudança de funções, que é a taxa na qual uma variável se altera quando a outra variável muda. Por exemplo, com a Derivada, é possível descobrir a velocidade de um objeto em um determinado momento, dado a sua posição ao longo do tempo. A Derivada também é usada para encontrar o ponto ótimo em uma função, ou seja, o valor máximo ou mínimo para determinado resultado. Ela fornece informações úteis sobre como a função se comporta ao redor de um ponto específico, permitindo que se encontre o ponto que maximiza ou minimiza o resultado. A Derivada também é usada para encontrar a equação de tangente de uma função em um determinado ponto. Ela informa a inclinação da linha tangente à função, o que é particularmente útil para encontrar a inclinação de montanhas ou o desempenho de um sistema em um determinado ponto. A Derivada também é usada para resolver equações diferenciais, que são equações que descrevem as taxas de mudança de sistemas dinâmicos como a física. Ela fornece informações sobre a direção e a velocidade com que as variáveis mudam, permitindo que se descubra como os sistemas evoluem com o tempo. A Derivada também é usada para encontrar a área sob uma curva, que é usada para calcular a área entre duas curvas em um gráfico. Ela permite calcular o área abaixo de uma curva, o que é útil para encontrar o volume de um objeto. Enfim, a Derivada é uma ferramenta matemática poderosa que permite aos usuários calcular a taxa de mudança de funções, encontrar o ponto ótimo em uma função, encontrar a equação de tangente de uma função, resolver equações diferenciais e encontrar a área sob uma curva. É uma ferramenta útil para todos os tipos de problemas matemáticos.
Um exemplo pratico e simples de aplicação de Derivadas
Um exemplo prático simples do cálculo de derivada é o cálculo da taxa de variação de uma grandeza em relação ao tempo. Por exemplo, para calcular a taxa de variação da temperatura ao longo do tempo, podemos usar a seguinte função: T(t)= 15 - 5t Aqui, T é a temperatura em função do tempo (t). Para calcular a taxa de variação, precisamos calcular a derivada da função em relação ao tempo. A derivada da função acima é dada por: dT/dt = -5 Isso significa que a taxa de variação da temperatura é de -5 graus por unidade de tempo.
Regras das Derivadas :
Essas são as Regras para fazer a Derivada de uma função qualquer.
São "Formulas" que devem ser respeitadas para que realmente seja feito o calculo derivativo.
Exemplos:
Exemplo 1: Calcule a derivada de f (x) = x2
Pela regra do tombo:
f (x) = x2
f ' (x) = (2x2 – 1)
f ' (x) = 2x1
f ' (x) = 2x
Exemplo 2: Calcule a derivada de f (x) = 3x3
Pela regra do tombo:
f ' (x) = 3·3x3 – 1
f ' (x) = 9x2
