Cálculo diferencial Integral
Onde surgiu, para que e quem?
Sabemos calcular a área de um quadrado, triangulo,
mas caso eu pergunte qual a área de uma imagem formada em um gráfico de função f(x) = x² você saberia responder? Acredito que não,
pois não existe ferramenta matemática exata para isso.
Outro problema fácil de ser compreendido e
calculado é a distância percorrida por um objeto quando sua velocidade é
constante, mas quando a velocidade varia, ou seja não é constante, calcular a distância
se torna uma tarefa bem mais desafiadora. Foi com base nesses tipos de problema
que Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, na década de 1670
desenvolveram a área do cálculo diferencial.
Para que serve?
O Cálculo Diferencial Integral é uma área da
matemática que estuda as mudanças ocorridas em uma variável quando outras
variáveis estão mudando. Essa área também estuda como as funções podem ser
integradas para obter resultados precisos.
Isaac Newton e Gottfried Leibniz
desenvolveram meios para estudar mudanças em funções, o que incluía o uso de
equações diferenciais para medir a taxa de mudança de uma variável em relação a
outra variável.
O Cálculo Diferencial Integral é usado para
resolver problemas em várias áreas, desde física até finanças. Por exemplo, na
física, a equação de movimento de um objeto pode ser resolvida usando equações
diferenciais. Isso pode nos ajudar a determinar a velocidade de um objeto ao
longo do tempo.
No campo da economia, é usado para calcular a
taxa de retorno de um investimento. Por exemplo, a taxa de retorno de um
investimento pode-se encontrar o valor da função de investimento com o tempo.
Também é usado para estudar a geometria de
superfícies. Por exemplo, pode ser usado para calcular o volume ou área de uma
superfície.
O Cálculo Diferencial Integral é usado em
engenharia, ciência da computação, estatística e muito mais, inclusive foi
utilizado por Albert Einstein para desenvolver a teoria da relatividade.
Integral Indefinida
Compreender a integral indefinido é o primeiro passo para a
compreensão dessa ferramenta matemática tão importante.
A integral
indefinida é a operação inversa do calculo de derivação (caso você não saiba
como funciona essa ferramenta matemática, temos um artigo especial sobre ela).
Ou seja, assim como
a Multiplicação tem a operação inversa que é a divisão, a integração também tem
sua operação inversa, a derivação ou derivada.
Por via de regra, a
Integral indefinida não chega a um “Numero Real” , ela irá gerar uma Função
como resultado, dado que os limites são indefinidos.
Vamos
começar identificando algumas coisas:
Também precisamos entender que há uma definição nas
integrais, ou seja, regras que nunca mudam, são elas:
Lembrando que (d/dx) representa a Derivada.
Exemplo 1:
Exemplo 2 :
Portanto segue agora algumas definições e integrais imediatas.
Isso são como “formulas” para você usar para resolver qualquer tipo de integral
Indefinida, essas regras SEMPRE serão assim.
Propriedades:
Integrais imediatas para facilitar:
Exercício para Treinar :
Calcule a integral
indefinida de:
Como (3C1 + 5C2) irá Resultar em um constante independentemente
do valor, podemos considerar tudo isso como simplesmente ( C )
O resultado pode ser
conferido aplicando a derivada no resultado obtido:
Integral definida
Diferente da Integral indefinida, a definida normalmente
retorna um número real, pois ao definir limites dentro de uma Função, é
possível identificar valores como por exemplo a área preenchida por essa função
em um dado espaço definido.
A integral definida
pode ser interpretada como a área resultante da região de uma função.
Por
exemplo :
Suponha uma função que resulta em um Gráfico ,
Qual a área desse gráfico
nos limites 0 e 4 ?
Vamos aplicar a Integral definida para achar esse valor:
Exemplo 2:
